派遣社員を長くしていて、正社員になりました。
きっかけは、部署の景気が悪いと一人ずつ派遣社員が契約終了になっていき、「いつか自分が！」と、更新のたびにハラハラするのが嫌になりました。
派遣社員を正社員にしてくれる派遣先はそうそうないので、私も他社に転職しました。
ちなみに35歳でした。

業界によっては30歳でも遅くはないと思いますが、正社員を目指したいなら、派遣社員をいつまでやる、と思わずに、正社員で入れる会社でスキルアップを目指すのもありだと思いますよ。
ただ、派遣社員の場合、契約期間があるので、途中で辞めようとすると、揉めることがあります。
派遣社員としての契約期間を、辞めようとしてると怪しまれない程度に短くしてもらい、正社員として受ける会社には「入社時期は内定後、派遣会社と相談の上、できるだけ早めに」という話をし、正社員として就職する会社が待ってくれる期間で調整するようにしましょう。
ただ、契約更新したばかりだからと諦めず、正社員が1ヶ月しか待ってくれないなら、派遣会社に事情を説明して早めに辞めさせてもらえないか相談しましょう。